Déterminer une équation de droite avec deux points

Ce qu'il faut comprendre

Quand tu as deux points sur une droite, tu peux retrouver son équation réduite, c'est-à-dire une formule du type y = mx + p. Cette équation te permet de calculer l'ordonnée de n'importe quel point de la droite à partir de son abscisse. C'est super utile pour tracer la droite, vérifier si un point appartient à la droite, ou encore étudier des intersections avec d'autres droites.

Les notions essentielles

Équation réduite d'une droite : c'est une écriture de la forme y = mx + p, où :
- m est le coefficient directeur (ou pente). Il indique la direction de la droite : si m > 0, la droite monte ; si m < 0, elle descend ; si m = 0, la droite est horizontale.
- p est l'ordonnée à l'origine. C'est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées (quand x = 0).
Pente (ou coefficient directeur) : elle se calcule avec deux points A(xA; yA) et B(xB; yB) par la formule : m = (yB – yA) / (xB – xA) Attention : il faut que xB ≠ xA, sinon la droite est verticale (son équation est x = constante, pas de forme réduite).
Parallélisme : deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur m.
Intersection : le point d'intersection de deux droites (non parallèles) se trouve en résolvant le système formé par leurs équations.

Méthode

Pour déterminer l'équation réduite d'une droite passant par deux points A(xA; yA) et B(xB; yB) :

Vérifie que la droite n'est pas verticale : si xA = xB, l'équation est x = xA (pas de forme y = mx + p).
Calcule le coefficient directeur m avec la formule : m = (yB – yA) / (xB – xA)
Trouve l'ordonnée à l'origine p : utilise l'un des deux points, par exemple A, et remplace x et y dans l'équation y = mx + p : yA = m × xA + p → p = yA – m × xA
Écris l'équation réduite : y = mx + p.

Exemple corrigé

Énoncé : Détermine l'équation réduite de la droite passant par A(2; 3) et B(5; 9).

Correction :

xA = 2, xB = 5 : ils sont différents, donc la droite n'est pas verticale.
Calcul de m : m = (9 – 3) / (5 – 2) = 6 / 3 = 2
Calcul de p avec le point A(2; 3) : 3 = 2 × 2 + p → 3 = 4 + p → p = 3 – 4 = –1
Équation réduite : y = 2x – 1

Vérification : Pour B(5; 9) : 2×5 – 1 = 10 – 1 = 9, ça marche.

Erreurs fréquentes

Confondre le numérateur et le dénominateur dans la formule de m : toujours (yB – yA) sur (xB – xA), pas l'inverse.
Oublier de vérifier si la droite est verticale : si xA = xB, la formule de m n'est pas valable.
Se tromper dans le calcul de p : pense à bien isoler p : p = yA – m × xA.
Inverser les points : tu peux prendre n'importe quel point pour calculer p, mais utilise le même pour la vérification.

À retenir

Équation réduite : y = mx + p.
Coefficient directeur : m = (yB – yA) / (xB – xA).
Ordonnée à l'origine : p = yA – m × xA.
Droite verticale : x = constante.
Droites parallèles : même m.
Intersection : résoudre le système des deux équations.

Pour s'entraîner

Tu peux t'entraîner avec les exercices interactifs et les quiz sur AlloSeconde. N'hésite pas à refaire la méthode avec d'autres points pour bien la maîtriser !