Déterminer l'expression d'une fonction affine

Ce qu'il faut comprendre

Une fonction affine est une des fonctions les plus simples que tu vas rencontrer en Seconde. Elle modélise des situations où une grandeur varie de façon constante par rapport à une autre. Par exemple, le montant d'une facture d'eau (abonnement + prix par m³) ou la distance parcourue à vitesse constante. Savoir déterminer son expression, c'est trouver la formule qui relie la variable d'entrée (souvent notée x) à la variable de sortie (notée f(x)). Cette formule s'écrit toujours sous la forme :

f(x) = a x + b

où a et b sont des nombres réels. Le but est de trouver a et b à partir d'informations données (par exemple, deux points sur la courbe, ou un point et le coefficient directeur).

Les notions essentielles

Fonction affine

Une fonction f est affine si elle peut s'écrire f(x) = a x + b, avec a et b réels.

a est le coefficient directeur (ou pente). Il indique de combien augmente (ou diminue) f(x) quand x augmente de 1.
b est l'ordonnée à l'origine. C'est la valeur de f(0), donc le point où la droite représentative coupe l'axe des ordonnées.

Variations d'une fonction affine

Si a > 0, la fonction est croissante : plus x augmente, plus f(x) augmente.
Si a < 0, la fonction est décroissante : plus x augmente, plus f(x) diminue.
Si a = 0, la fonction est constante : f(x) = b pour tout x.

Fonction carré et fonction inverse (rappels)

Fonction carré : f(x) = x². Elle n'est pas affine, mais tu peux avoir à la comparer avec une fonction affine dans certains exercices.
Fonction inverse : f(x) = 1/x. Elle non plus n'est pas affine. Attention à ne pas confondre avec une fonction affine.

Méthode

Pour déterminer l'expression d'une fonction affine, tu as besoin de deux informations. Voici les cas les plus fréquents :

Cas 1 : On connaît deux points (x₁ ; y₁) et (x₂ ; y₂)

Calculer le coefficient directeur a : a = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) (Attention : x₂ ≠ x₁, sinon la fonction n'est pas affine mais verticale, ce qui n'est pas une fonction).
Calculer l'ordonnée à l'origine b : Utilise un des points, par exemple (x₁ ; y₁) : y₁ = a x₁ + b => b = y₁ - a x₁
Écrire l'expression : f(x) = a x + b

Cas 2 : On connaît le coefficient directeur a et un point (x₁ ; y₁)

Calculer b : b = y₁ - a x₁
Écrire l'expression : f(x) = a x + b

Cas 3 : On connaît l'ordonnée à l'origine b et un point (x₁ ; y₁)

Calculer a : a = (y₁ - b) / x₁ (si x₁ ≠ 0)
Écrire l'expression : f(x) = a x + b

Exemple corrigé

Énoncé : Déterminer l'expression de la fonction affine f telle que f(2) = 5 et f(5) = 11.

Correction :

On a deux points : (2 ; 5) et (5 ; 11).
Calcul de a : a = (11 - 5) / (5 - 2) = 6 / 3 = 2
Calcul de b avec le point (2 ; 5) : 5 = 2 × 2 + b => 5 = 4 + b => b = 1
Expression : f(x) = 2x + 1

Vérification : Pour x = 5, f(5) = 2×5 + 1 = 11, c'est correct.

Erreurs fréquentes

Confondre a et b : a est le coefficient directeur (pente), b est l'ordonnée à l'origine. Ne les inverse pas.
Oublier de vérifier : après avoir trouvé a et b, teste avec un point donné pour voir si ça marche.
Diviser par zéro : si x₂ = x₁, la fonction n'est pas affine (c'est une droite verticale, mais ce n'est pas une fonction).
Signes dans le calcul de a : fais attention aux signes quand tu soustrais. Par exemple, si y₂ = 3 et y₁ = -2, alors y₂ - y₁ = 3 - (-2) = 5.
Confondre fonction affine et fonction linéaire : une fonction linéaire est un cas particulier où b = 0 (f(x) = a x). Mais ici on traite le cas général.

À retenir

Une fonction affine s'écrit f(x) = a x + b.
a = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) pour deux points.
b = y₁ - a x₁.
Si a > 0, la fonction est croissante ; si a < 0, décroissante.
Toujours vérifier avec un point donné.

Pour s'entraîner

Maintenant que tu as compris la méthode, entraîne-toi avec les exercices et quiz disponibles sur AlloSeconde. Tu trouveras des fiches pratiques et des vidéos pour consolider tes acquis. N'hésite pas à refaire l'exemple ci-dessus en changeant les valeurs.