Contrôle n°1 — Nombres réels, intervalles, fonctions affines
Chapitres : Nombres réels et intervalles · Variations et fonctions de référence · Probabilités
Barème
- Exercice 1 — Intervalles et inégalités · 5 pts
- Exercice 2 — Valeur absolue et distance · 5 pts
- Exercice 3 — Tableau de variations et comparaison · 5 pts
- Exercice 4 — Fonction affine · 5 pts
Intervalles et inégalités
· 5 pts1. Écrire sous forme d'intervalle les ensembles suivants : a) {x ∈ ℝ | -3 ≤ x < 5} b) {x ∈ ℝ | x > 2} c) {x ∈ ℝ | x ≤ -1 ou x ≥ 4} 2. Donner l'inégalité correspondant à chaque intervalle : a) ]-∞ ; 7] b) ]-2 ; 3[ 3. Soit I = [-2 ; 4] et J = ]0 ; 6[. Déterminer I ∩ J et I ∪ J.
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1a) [-3 ; 5[ (car -3 inclus, 5 exclu) 1b) ]2 ; +∞[ (car >2, donc 2 exclu) 1c) ]-∞ ; -1] ∪ [4 ; +∞[ (car ≤ -1 ou ≥ 4) 2a) x ≤ 7 (car ]-∞ ; 7] signifie tous les réels inférieurs ou égaux à 7) 2b) -2 < x < 3 (car ]-2 ; 3[ signifie -2 exclu, 3 exclu) 3) I ∩ J = ]0 ; 4] (éléments communs : x >0 et x ≤4) I ∪ J = [-2 ; 6[ (tous les éléments de I ou J : de -2 inclus à 6 exclu)
Valeur absolue et distance
· 5 pts1. Calculer : a) |3 - 7| b) |-5| c) |2 - (-3)| 2. Résoudre dans ℝ : a) |x - 2| = 3 b) |x + 1| ≤ 2 3. Placer sur une droite graduée les points d'abscisse x tels que |x - 1| = 2.
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1a) |3 - 7| = |-4| = 4 1b) |-5| = 5 1c) |2 - (-3)| = |2 + 3| = |5| = 5 2a) |x - 2| = 3 signifie distance de x à 2 = 3. Donc x = 2 - 3 = -1 ou x = 2 + 3 = 5. Solutions : x = -1 ou x = 5. 2b) |x + 1| ≤ 2 équivaut à |x - (-1)| ≤ 2, donc distance de x à -1 ≤ 2. Cela donne -1 - 2 ≤ x ≤ -1 + 2, soit -3 ≤ x ≤ 1. Solution : x ∈ [-3 ; 1]. 3) |x - 1| = 2 donne x = 1 - 2 = -1 ou x = 1 + 2 = 3. Placer les points -1 et 3 sur la droite.
Tableau de variations et comparaison
· 5 ptsVoici le tableau de variations d'une fonction f définie sur [-4 ; 5] : x -4 -1 3 5 f(x) 2 -3 4 1 \ / \ / décroiss croiss décroiss 1. Quel est le maximum de f sur [-4 ; 5] ? En quelle(s) valeur(s) est-il atteint ? 2. Quel est le minimum de f sur [-4 ; 5] ? En quelle(s) valeur(s) est-il atteint ? 3. Comparer f(-2) et f(0) (justifier). 4. Résoudre graphiquement f(x) ≥ 0 (donner les intervalles).
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1) Le maximum est 4, atteint en x = 3 (car f(3)=4 est la plus grande valeur du tableau). 2) Le minimum est -3, atteint en x = -1 (car f(-1)=-3 est la plus petite valeur). 3) Sur [-4 ; -1], f est décroissante. -2 et 0 sont dans cet intervalle ? Non : -2 ∈ [-4 ; -1] et 0 ∉ [-4 ; -1]. En fait, -2 ∈ [-4 ; -1] et 0 ∈ [-1 ; 3]. On ne peut pas comparer directement car ils ne sont pas dans le même intervalle de monotonie. Mais on peut utiliser le tableau : f(-2) est entre f(-4)=2 et f(-1)=-3, donc f(-2) ∈ [-3 ; 2]. f(0) est entre f(-1)=-3 et f(3)=4, donc f(0) ∈ [-3 ; 4]. On ne peut pas conclure précisément sans plus d'info. (Réponse attendue : on ne peut pas comparer car ils sont dans des intervalles de monotonie différents.) 4) f(x) ≥ 0 : on cherche les x où la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses. D'après le tableau, f(-4)=2>0, puis f décroît jusqu'à -3 (négatif) donc f(x) ≥ 0 pour x ∈ [-4 ; α] où α est la valeur où f s'annule entre -4 et -1. Puis f croît de -3 à 4, donc repasse positive à partir d'un β entre -1 et 3. Enfin f décroît de 4 à 1, reste positive jusqu'à 5. Donc f(x) ≥ 0 sur [-4 ; α] ∪ [β ; 5]. Sans plus de données, on ne peut donner les valeurs exactes. (On peut dire : approximativement α ≈ -2,5 et β ≈ 0,5.)
Fonction affine
· 5 ptsSoit f une fonction affine telle que f(1) = 3 et f(3) = -1. 1. Déterminer l'expression de f(x) (sous la forme f(x) = ax + b). 2. Calculer le coefficient directeur a. Que représente-t-il ? 3. Tracer la droite représentative de f dans un repère (unités : 1 cm pour 1 unité en abscisse et en ordonnée). 4. Résoudre f(x) = 0.
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1) f est affine : f(x) = ax + b. On a f(1) = a×1 + b = a + b = 3 f(3) = a×3 + b = 3a + b = -1 Par soustraction : (3a + b) - (a + b) = -1 - 3 → 2a = -4 → a = -2. Puis a + b = 3 → -2 + b = 3 → b = 5. Donc f(x) = -2x + 5. 2) Le coefficient directeur a = -2. Il représente la pente de la droite : quand x augmente de 1, f(x) diminue de 2. 3) Tracer la droite passant par (1 ; 3) et (3 ; -1). On peut aussi utiliser l'ordonnée à l'origine b=5 : point (0 ; 5). 4) f(x) = 0 ⇔ -2x + 5 = 0 ⇔ -2x = -5 ⇔ x = 5/2 = 2,5. Solution : x = 2,5.
Erreurs fréquentes
- Confondre les crochets ouverts et fermés dans les intervalles. Un crochet tourné vers l'intérieur [ ou ] signifie que la borne est incluse ; vers l'extérieur ] ou [ signifie exclue. Par exemple, x < 5 s'écrit ]-∞ ; 5[ et non ]-∞ ; 5].
- Oublier de changer le sens de l'inégalité en multipliant par un nombre négatif. Quand on résout une inéquation, si on multiplie ou divise par un nombre négatif, il faut inverser le signe de l'inégalité. Par exemple, -2x ≤ 4 donne x ≥ -2.
- Mal interpréter la valeur absolue comme un nombre toujours positif. La valeur absolue d'un nombre est sa distance à zéro, donc toujours positive ou nulle. Mais l'équation |x| = a a deux solutions si a>0 : x = a ou x = -a.
Conseils
- Relis chaque énoncé deux fois avant de répondre.
- Vérifie toujours la cohérence de tes résultats (par exemple, un intervalle doit être écrit dans l'ordre croissant).
- Pour les fonctions affines, n'oublie pas de vérifier ton expression en remplaçant x par les valeurs données.
