Coefficient directeur d'une fonction affine

Ce qu'il faut comprendre

Tu as déjà rencontré des fonctions affines, par exemple f(x) = 2x + 3 ou g(x) = -0,5x + 1. Elles sont très utiles pour modéliser des situations simples : le prix d'un abonnement, la distance parcourue à vitesse constante, etc.

Le coefficient directeur (noté a dans f(x) = ax + b) est le nombre qui te dit comment la fonction varie :

Si a > 0, la fonction augmente (la droite monte).
Si a < 0, la fonction diminue (la droite descend).
Plus la valeur absolue de a est grande, plus la variation est rapide (la droite est pentue).

L'ordonnée à l'origine (b) est la valeur de la fonction quand x = 0. C'est le point où la droite coupe l'axe vertical.

Comprendre le coefficient directeur, c'est savoir lire le sens de variation d'une fonction affine directement sur son expression.

Les notions essentielles

Définition d'une fonction affine

Une fonction affine est une fonction de la forme : f(x) = a x + b avec a et b des nombres réels.

a est le coefficient directeur (ou pente).
b est l'ordonnée à l'origine.

Sens de variation

Si a > 0 : la fonction est croissante (quand x augmente, f(x) augmente).
Si a < 0 : la fonction est décroissante (quand x augmente, f(x) diminue).
Si a = 0 : la fonction est constante (f(x) = b).

Représentation graphique

La courbe d'une fonction affine est une droite.

Le coefficient directeur a mesure la pente : pour un déplacement de 1 unité vers la droite, on monte (ou descend) de a unités.
L'ordonnée à l'origine b est l'ordonnée du point d'intersection avec l'axe des ordonnées (point (0 ; b)).

Fonctions de référence

Fonction carré : f(x) = x^2. Ce n'est pas une fonction affine (sa courbe est une parabole).
Fonction inverse : f(x) = 1/x. Ce n'est pas non plus une fonction affine (sa courbe est une hyperbole).

Ces deux fonctions ne sont pas affines, mais tu les étudies dans le même chapitre pour comparer leurs variations.

Méthode

Déterminer le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine à partir d'une expression

Mets la fonction sous la forme f(x) = a x + b.
Lis a (le nombre devant x) et b (le terme constant).

Exemple : f(x) = 5 - 2x s'écrit f(x) = -2x + 5. Donc a = -2, b = 5.

Calculer le coefficient directeur à partir de deux points

Si tu connais deux points A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) sur la droite, alors : a = (y_B - y_A) / (x_B - x_A)

Attention : il faut que x_B ≠ x_A (sinon la droite est verticale, ce n'est pas une fonction).

Déterminer l'expression d'une fonction affine à partir de deux points

Calcule a avec la formule ci-dessus.
Remplace a dans f(x) = a x + b.
Utilise un des points pour trouver b : b = y_A - a * x_A.

Exemple corrigé

Énoncé : Soit f une fonction affine telle que f(1) = 4 et f(3) = 10. Détermine l'expression de f.

Correction :

On a deux points : A(1 ; 4) et B(3 ; 10).
Calcul du coefficient directeur : a = (10 - 4) / (3 - 1) = 6 / 2 = 3.
L'expression est donc f(x) = 3x + b.
On utilise le point A : 4 = 3 * 1 + b => 4 = 3 + b => b = 1.
Vérification avec B : 3 * 3 + 1 = 10, c'est bon.

Réponse : f(x) = 3x + 1.

Erreurs fréquentes

Confondre coefficient directeur et ordonnée à l'origine : a est devant x, b est tout seul.
Oublier le signe : dans f(x) = 5 - 2x, le coefficient directeur est -2, pas 2.
Inverser la formule de a : toujours (y_B - y_A) / (x_B - x_A), pas l'inverse.
Croire que toute fonction est affine : f(x) = x^2 ou f(x) = 1/x ne le sont pas.
Pour une fonction constante (a=0), penser qu'elle n'est pas affine : si, elle est affine avec a=0.

À retenir

Une fonction affine s'écrit f(x) = a x + b.
a est le coefficient directeur : il donne le sens de variation (croissant si a>0, décroissant si a<0).
b est l'ordonnée à l'origine : valeur en x=0.
Pour trouver a avec deux points : a = (y_B - y_A) / (x_B - x_A).
Les fonctions carré et inverse ne sont pas affines.

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