Chercher un antécédent simple par calcul

Ce qu'il faut comprendre

Quand on te donne une fonction, par exemple f(x) = 2x + 3, tu sais peut-être déjà calculer l'image d'un nombre. Par exemple, l'image de 5 est f(5) = 2×5 + 3 = 13. Mais parfois, on te donne l'image et on te demande de retrouver le nombre de départ. Ce nombre de départ s'appelle un antécédent. Chercher un antécédent par calcul, c'est résoudre une équation : trouver x tel que f(x) = une valeur donnée.

Les notions essentielles

• Fonction : une machine qui, à un nombre x, associe un unique nombre f(x).
• Image : le résultat f(x) quand on donne x à la fonction.
• Antécédent : un nombre x dont l'image est un nombre donné y. On dit que x est un antécédent de y par f.
• Courbe : représentation graphique de la fonction. L'antécédent se lit sur l'axe des abscisses (horizontal).
• Tableau de valeurs : tableau qui donne quelques images. On peut y chercher un antécédent.
• Équation graphique : résoudre f(x) = y graphiquement, c'est trouver les abscisses des points d'intersection de la courbe avec la droite horizontale d'équation y = ...

Attention : un nombre peut avoir plusieurs antécédents (ou aucun). Par exemple, pour f(x) = x², l'image 4 a deux antécédents : 2 et -2.

Méthode

Pour chercher un antécédent simple par calcul, suis ces étapes :

1. Écris l'équation : f(x) = valeur donnée.
2. Remplace f(x) par son expression : par exemple, si f(x) = 2x + 3 et on cherche l'antécédent de 7, on écrit 2x + 3 = 7.
3. Résous l'équation pour trouver x. Utilise les méthodes de résolution d'équations (addition, soustraction, multiplication, division).
4. Vérifie : calcule f(x) avec la valeur trouvée pour t'assurer que tu obtiens bien l'image donnée.

Si la fonction est plus complexe (carré, inverse), il peut y avoir plusieurs solutions ou aucune. Dans ce cours, on se concentre sur les cas simples (fonctions affines, etc.).

Exemple corrigé

Énoncé : Soit f(x) = 3x - 5. Cherche l'antécédent de 4 par f.

Correction :

1. On écrit l'équation : f(x) = 4, donc 3x - 5 = 4.
2. On résout :
   • Ajoute 5 des deux côtés : 3x - 5 + 5 = 4 + 5 → 3x = 9.
   • Divise par 3 : 3x / 3 = 9 / 3 → x = 3.
3. Vérification : f(3) = 3×3 - 5 = 9 - 5 = 4. C'est correct.

Réponse : L'antécédent de 4 est 3.

Autre exemple : Soit g(x) = x². Cherche les antécédents de 9.

1. Équation : x² = 9.
2. Solutions : x = 3 ou x = -3 (car 3² = 9 et (-3)² = 9).
3. Vérification : g(3) = 9, g(-3) = 9.

Réponse : Les antécédents de 9 sont 3 et -3.

Erreurs fréquentes

• Confondre image et antécédent : l'image est le résultat, l'antécédent est l'entrée. Quand on te demande l'antécédent de 7, tu cherches x tel que f(x)=7, pas f(7).
• Oublier les solutions négatives : pour une fonction carré, n'oublie pas que (-a)² = a². Par exemple, x² = 4 donne x = 2 ou x = -2.
• Ne pas vérifier : après avoir trouvé x, calcule f(x) pour confirmer. Si ça ne colle pas, tu as fait une erreur de calcul.
• Mal résoudre l'équation : fais attention aux signes quand tu ajoutes ou soustrais. Par exemple, 2x + 3 = 7 → 2x = 7 - 3 = 4 → x = 2.

À retenir

• Chercher un antécédent, c'est résoudre f(x) = y.
• Il peut y avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents.
• Vérifie toujours ta solution.
• La méthode est la même que pour résoudre une équation simple.

Pour s'entraîner

Maintenant que tu as compris la méthode, entraîne-toi avec les exercices et quiz disponibles sur AlloSeconde. Tu trouveras des fiches pour t'aider à maîtriser la recherche d'antécédents par calcul et graphiquement. Bon courage !