Calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité

Ce qu'il faut comprendre

Imagine que tu lances un dé à six faces bien équilibré. Chaque face a la même chance de sortir. On dit alors que les issues sont équiprobables. Dans ce cas, calculer une probabilité revient à compter : combien de cas favorables par rapport au nombre total de cas possibles ? C'est simple et intuitif. Ce cours va t'apprendre à faire ce calcul proprement, en utilisant le vocabulaire des probabilités.

Les notions essentielles

Univers

L'univers (noté souvent Ω) est l'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire.

Exemple : Pour un dé à 6 faces, l'univers est Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Issue

Une issue est un résultat possible de l'expérience. On l'appelle aussi éventualité.

Événement

Un événement est un ensemble d'issues. On le note souvent par une lettre majuscule (A, B, etc.).

Exemple : « Obtenir un nombre pair » est l'événement A = {2; 4; 6}.

Équiprobabilité

On dit qu'il y a équiprobabilité quand toutes les issues ont la même probabilité de se produire.

Probabilité en situation d'équiprobabilité

Si toutes les issues sont équiprobables, alors la probabilité d'un événement A est :

P(A) = (nombre d'issues favorables à A) / (nombre total d'issues)

Autrement dit : P(A) = (cardinal de A) / (cardinal de Ω).

Événement contraire

L'événement contraire de A, noté \bar{A} (ou non A), est l'ensemble des issues qui ne sont pas dans A.

Propriété : P(\bar{A}) = 1 – P(A).

Arbre

Un arbre de probabilités est un schéma qui représente les différentes issues d'une expérience aléatoire. Chaque branche correspond à une issue, et on peut y indiquer les probabilités.

Méthode

Pour calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité, suis ces étapes :

1. Identifier l'univers : liste toutes les issues possibles. Vérifie qu'elles sont bien équiprobables.
2. Compter le nombre total d'issues : note N = nombre d'issues dans Ω.
3. Définir l'événement : écris l'ensemble des issues qui réalisent l'événement.
4. Compter le nombre d'issues favorables : note n = nombre d'issues dans l'événement.
5. Appliquer la formule : P = n / N.
6. Simplifier la fraction si possible, ou donner une valeur décimale.

Si l'expérience comporte plusieurs étapes, tu peux utiliser un arbre pour visualiser toutes les issues.

Exemple corrigé

Énoncé : On lance deux dés équilibrés à 6 faces. On s'intéresse à la somme des deux faces. Quelle est la probabilité d'obtenir une somme égale à 7 ?

Correction :

1. Univers : Chaque dé a 6 issues. Les deux lancers sont indépendants. Le nombre total d'issues est 6 × 6 = 36. On peut les représenter par des couples (dé1, dé2). Tous les couples sont équiprobables.

2. Événement : Soit A = « la somme est 7 ». Les couples qui donnent une somme de 7 sont : (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1). Soit 6 issues favorables.

3. Calcul : P(A) = 6 / 36 = 1 / 6.

Réponse : La probabilité d'obtenir une somme de 7 est 1/6.

Erreurs fréquentes

• Oublier l'ordre : Dans l'exemple des deux dés, ne pas considérer (1;6) et (6;1) comme deux issues distinctes. L'univers doit être exhaustif.
• Confondre « et » et « ou » : « Obtenir un 2 et un 3 » (les deux en même temps) n'est pas la même chose que « obtenir un 2 ou un 3 ».
• Ne pas vérifier l'équiprobabilité : Si les issues ne sont pas équiprobables, la formule ne s'applique pas.
• Oublier de simplifier : Laisse la fraction sous forme simplifiée (ex : 1/6 plutôt que 2/12).

À retenir

• En situation d'équiprobabilité, P(A) = (nombre de cas favorables) / (nombre de cas possibles).
• L'univers est l'ensemble de toutes les issues.
• L'événement contraire a pour probabilité 1 – P(A).
• Un arbre peut aider à compter les issues dans des expériences à plusieurs étapes.

Pour s'entraîner

Maintenant que tu as compris le cours, entraîne-toi avec les exercices et quiz disponibles sur AlloSeconde. Tu trouveras des situations variées : lancers de dés, tirages de cartes, etc. Bon courage !