Calculer une image par une formule

Ce qu'il faut comprendre

Quand on te donne une fonction, par exemple f(x) = 2x + 3, tu peux calculer l'image d'un nombre. L'image, c'est le résultat que tu obtiens quand tu remplaces x par ce nombre dans la formule. C'est comme une machine : tu mets un nombre au départ (l'antécédent), la machine applique la formule, et elle te donne un nombre d'arrivée (l'image).

Par exemple, si tu veux l'image de 5 par la fonction f, tu calcules f(5) = 2×5 + 3 = 13. L'image de 5 est 13. On dit aussi que 5 est un antécédent de 13.

Cette notion est fondamentale pour tout le chapitre : elle te permet de construire un tableau de valeurs, de tracer une courbe, ou de résoudre des équations graphiquement.

Les notions essentielles

Fonction

Une fonction est un procédé qui, à un nombre x, associe un unique nombre noté f(x). On la note souvent f : x → f(x).

Image

L'image d'un nombre a par une fonction f est le nombre f(a). On le calcule en remplaçant x par a dans l'expression de f(x).

Antécédent

Un antécédent d'un nombre b par une fonction f est un nombre a tel que f(a) = b. Un nombre peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun.

Courbe

La courbe représentative d'une fonction f est l'ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)), pour toutes les valeurs de x possibles.

Tableau de valeurs

Un tableau de valeurs regroupe quelques valeurs de x et leurs images f(x). Il sert à tracer la courbe ou à repérer des tendances.

Équation graphique

Résoudre une équation graphique comme f(x) = k revient à trouver les abscisses des points d'intersection de la courbe avec la droite horizontale y = k.

Méthode

Pour calculer l'image d'un nombre par une formule, suis ces étapes :

1. Identifie la fonction : repère l'expression de f(x).
2. Remplace x par le nombre donné : attention aux parenthèses si le nombre est négatif ou si l'expression contient des multiplications.
3. Effectue les calculs en respectant les priorités opératoires (parenthèses, puissances, multiplications/divisions, additions/soustractions).
4. Écris le résultat : f(nombre) = résultat.

Exemple corrigé

Énoncé : Soit la fonction f(x) = 3x² - 2x + 1. Calcule l'image de -2 par f.

Correction :

1. On remplace x par -2 dans l'expression : f(-2) = 3×(-2)² - 2×(-2) + 1

2. On calcule la puissance : (-2)² = 4 f(-2) = 3×4 - 2×(-2) + 1

3. On effectue les multiplications : 3×4 = 12 ; 2×(-2) = -4 f(-2) = 12 - (-4) + 1

4. On simplifie : 12 + 4 + 1 = 17

5. Conclusion : f(-2) = 17. L'image de -2 est 17.

Erreurs fréquentes

• Oublier les parenthèses : si le nombre est négatif, mets-le entre parenthèses dans le calcul. Par exemple, pour f(x) = x², f(-3) = (-3)² = 9, pas -9.
• Confondre image et antécédent : l'image est le résultat, l'antécédent est le nombre de départ.
• Mal appliquer les priorités : la puissance est prioritaire sur la multiplication, qui est prioritaire sur l'addition. Utilise les parenthèses si besoin.
• Erreur de signe : fais attention aux signes moins, surtout quand tu multiplies deux négatifs.

À retenir

• L'image d'un nombre a par f se note f(a) et se calcule en remplaçant x par a dans la formule.
• Un antécédent de b est un nombre a tel que f(a) = b.
• La courbe est l'ensemble des points (x ; f(x)).
• Un tableau de valeurs aide à visualiser la fonction.
• Résoudre graphiquement f(x) = k revient à lire les abscisses des points d'intersection de la courbe avec la droite y = k.

Pour s'entraîner

Maintenant que tu as compris le cours, entraîne-toi avec les exercices et quiz disponibles sur AlloSeconde. Tu trouveras des fiches pour t'aider à maîtriser le calcul d'images et la lecture graphique. Bon courage !